【数据结构】红黑树

? ? ? ? ?红黑树是一种二叉平衡树，在每一个结点增加了一个存储位表示结点的颜色，以维持它的平衡；

红黑树性质

（1）红黑树结点有如下域：color，key，left，right，p；我们把这些NIL结点是为指向外结点的指针，可以自己定义；

（2）每一个结点不是红的就是黑的，根节点和NIL结点都是黑的；

（3）如果一个节点是红的，那么它的父亲和两个孩子都是黑的；

（4）对于每一个结点，它到其子孙结点的所有路径上的包含相同数目的black结点，并不要求父节点到每一层的黑高度相同；

注1：可以使用同一的一个NIL来表示所有的叶子结点和根部的父节点，这样可以减少浪费内存，该NIL的父亲就是上述的普通结点，这样查找不成功时，就可以重新回到根节点root；

注2：设某个结点x出发到达任意一个节点的任意路径上，黑结点的个数称为该节点的黑高度，bh(x)表示；可归纳证明出根节点至少有2^h-1个结点，故n>=2^h-1，求得h<=2lg(n+1)；

红黑树插入

（2）若刚开始树为空，则z是根节点，p为NIL节点，则将z的结点改为黑色；

（3）若p的颜色是黑色，则直接插入，因为红黑树的性质完全保持；

（4）若p的颜色是红色，违反红黑树的性质3，此时要讨论情况；

（4.1）若p是p父亲的左孩子；

（4.1.1）若p的兄弟节点ps是红色，则改变p和ps为黑色，p父节点改为红色，此时p父节点为新的z，继续判别；

（4.1.2）若p的兄弟节点ps是黑色，且z是父亲的右孩子，做一次左旋，到情况（4.1.3）；

（4.1.3）若p的兄弟节点ps是黑色，且z是父亲的左孩子，做一次右旋，改变z父亲颜色为黑色，z祖父颜色为红色，完毕；

（4.2）若p是p父亲的右孩子；情况与（4.1）类似，执行相反的动作；

（5）始终将根节点的颜色置为黑，因为处理时根节点有可能变红；

（6）时间复杂度为O(lgn)，空间复杂度为O(1)；

红黑树删除

（2）若y为红色，直接删掉，因为红黑树的性质保持不变；

（3）若y为黑色节点，x为红色，则直接删掉y，将x变为黑色；

（4）若y为黑色节点，x（可以为NIl节点）为黑色，则删掉y，将x变为双黑色；

（4.1）若x是x父亲的左孩子，分别有四种情况来讨论；

（4.1.1）若x的兄弟是红色，则左旋一次，改变兄弟颜色为黑，父亲颜色为红，则它仍为新的x，继续；

（4.1.2）若x的兄弟是黑色，且x兄弟的两个孩子都是黑色，则去掉x的一重黑色，将兄弟颜色变为红，将去掉的一重黑色，给x的父亲，若x父亲是红色，则直接改成黑色，否则将变成双黑，成为新的x，继续；

（4.1.3）若x的兄弟是黑色，且x兄弟的右孩子黑色，左孩子是红色，则先将x兄弟那一块右旋，改色，使得x兄弟的右孩子变为红色；进入（4.1.4）；

（4.1.4）若x的兄弟是黑色，且x兄弟的右孩子红色，左孩子可任意色，则左旋，改变x兄弟右孩子颜色为黑色，兄弟变为父亲的颜色，父亲变为黑色，自己去掉一重颜色，完毕；

（4.2）若x是x父亲的右孩子，分别也有四种情况来讨论，但与（4.1）对称，相反来处理；

（5）若根为双黑，直接变为单黑，返回；

（6）时间复杂度为O(lgn)，空间复杂度为O(1)；

代码分析

（本节代码取自nginx中红黑树相关的代码）

红黑树表示

typedef struct ngx_rbtree_node_s  ngx_rbtree_node_t;

//红黑树节点的定义
struct ngx_rbtree_node_s {
    ngx_rbtree_key_t       key;   //关键字
    ngx_rbtree_node_t     *left;  //左子节点
    ngx_rbtree_node_t     *right; //右子节点
    ngx_rbtree_node_t     *parent;//父节点
    u_char                 color; //颜色，非红即黑
    u_char                 data;  //1个字节的节点数据，空间较小很少使用；
};

typedef struct ngx_rbtree_s  ngx_rbtree_t;

//为解决不同节点含有相同关键字元素冲突问题，设置该指针，灵活的添加冲突元素
typedef void (*ngx_rbtree_insert_pt) (ngx_rbtree_node_t *root,ngx_rbtree_node_t *node,ngx_rbtree_node_t *sentinel);

//红黑树的定义
struct ngx_rbtree_s {
    ngx_rbtree_node_t     *root;      //指向树的根节点，根结点也是数据元素
    ngx_rbtree_node_t     *sentinel;  //指向哨兵NIL节点
    ngx_rbtree_insert_pt   insert;    //添加元素的函数指针
};

节点颜色相关宏定义

//颜色设置
#define ngx_rbt_red(node)               ((node)->color = 1)
#define ngx_rbt_black(node)             ((node)->color = 0)
#define ngx_rbt_is_red(node)            ((node)->color)
#define ngx_rbt_is_black(node)          (!ngx_rbt_is_red(node))
#define ngx_rbt_copy_color(n1,n2)      (n1->color = n2->color)

寻找值最小的节点

//内联函数，寻找值最小的节点
static ngx_inline ngx_rbtree_node_t *
ngx_rbtree_min(ngx_rbtree_node_t *node,ngx_rbtree_node_t *sentinel)
{
    while (node->left != sentinel) {
        node = node->left;
    }

    return node;
}

红黑树初始化

#define ngx_rbtree_init(tree,s,i)                                           \
    ngx_rbtree_sentinel_init(s);                                              \
    (tree)->root = s;                                                         \
    (tree)->sentinel = s;                                                     \
    (tree)->insert = i

其中tree代表红黑树管理结构，s代表NIL节点，i代表添加元素的函数；

（编辑：ASP站长网）